The test questions and test points of matrix analysis and application are mainly for the first-year graduate course.

矩阵复习题目（划的题+课后题）

划的题

1-4在ipad笔记上。

0x05

考虑上三角矩阵 $\mathbf{A}$

（1）如果 $\mathbf{A}$ 是一个酉矩阵，则 $\mathrm{A}$ 是一个对角矩阵，且对角元素的范数都是 1

（2）如果 $\mathbf{A}$ 是一个上三角 (块) 酉矩阵， $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{P} & \mathbf{B} \ \mathbf{0} & \mathbf{Q}\end{array}\right)$，其中 $\mathbf{P}$ 为 $m \times m$ 矩阵，$\mathbf{Q}$ 是 $n \times n$ 矩阵，那么 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{Q}$ 都是酉矩阵，且 $\mathbf{B}=\mathbf{0}$。

（1）$\mathrm{A}$ 为上三角矩阵，且为酉矩阵 $\Rightarrow \mathrm{A}^H=\mathrm{A}^{-1}，\mathrm{~A}^H$ 为下三角矩阵，由于上三角矩阵的逆依旧是上三角阵，因此$A^H$也是上三角矩阵，因此$A^H$必须是对角阵。

$\text { 令 } \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left\{\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\right\}, \mathbf{A}^H \mathbf{A}=\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left\{\left|\lambda_1\right|^2,\left|\lambda_2\right|^2, \ldots,\left|\lambda_n\right|^2\right\} \Rightarrow\left|\lambda_i\right|=1$

（2）$\mathbf{A}$ 为上三角分块酉矩阵, 由 1) 知 $\mathrm{B}=\mathbf{0}$,
且由：

$\mathbf{A}^H \mathbf{A}=\mathbf{I} \Rightarrow\left(\begin{array}{cc}\mathbf{P} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{P}^H & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{Q}^H\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{PP}^H & \mathbf{0} \\ 0 & \mathrm{QQ}^H\end{array}\right)=\mathbf{I}$ $\Rightarrow \mathrm{PP}^H=\mathrm{I}, \mathrm{Q} \mathrm{Q}^H=\mathrm{I}$

即 $\mathrm{P}$ 和 $\mathrm{Q}$ 均为酉矩阵。

0x06

设 $V_1$ 与 $V_2$ 分别为齐次线性方程组 $x_1+x_2+\ldots+x_n=0$ 和 $x_1=x_2=\ldots=x_n$ 的解空间, 证明 $\mathbb{R}^n=V_1 \oplus V_2$

解:

方程组 $x_1+x_2+\ldots+x_n=0$ 的解空间是 $n-1$ 维的,

$\begin{aligned} & a_1=(-1,1,0, \ldots, 0)^T, \quad a_2=(-1,0,1, \ldots, 0)^T, \ldots, \\ & a_{n-1}=(-1,0,0, \ldots, 1)^T, \text { 即 } V_1=\operatorname{span}\left(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}\right) \end{aligned}$

方程组 $x_1=x_2=\ldots=x_n$ 的解空间是 1 维的,

$a=(1,1,1, \ldots, 1)^T \text {, 即 } V_2=\operatorname{span}(a)$

由于 $a1, a_2, \ldots, a{n-1}, a$ 线性无关, $V1+V_2=\operatorname{span}\left(a_1, a_2, \ldots, a{n-1}, a\right)=\mathbb{R}^n$ 又因 $\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2=n-1+1=n$, 根据维数定理:

$\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2=\operatorname{dim}\left(V_1+V_2\right)+\operatorname{dim}\left(V_1 \cap V_2\right)$

因此 $\operatorname{dim}\left(V_1 \cap V_2\right)={\boldsymbol{0}}$, 命题成立

0x07

设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}=\left(a{i j}\right){n \times n}$, 且 $\sum{j=1}^n\left|a{i j}\right|<1, i=1,2, \ldots, n$, 证明 $\mathbf{A}$ 的每一个特征值的绝对值 $|\lambda|<1$

解:

设 $\mathbf{A} \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}, \mathbf{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)^T$, 且设 $\left|x_k\right|=\max \left(\left|x_1\right|,\left|x_2\right|, \ldots, \mid x_n\right)$
取 $\mathbf{A x}=\lambda \mathbf{x}$ 的第 $\mathrm{k}$ 个方程:

$\lambda x_k=\sum_{j=1}^n a_{k j} x_j$

于是

$|\lambda|\left|x_k\right|=\left|\sum_{j=1}^n a_{k j} x_j\right| \leq \sum_{j=1}^n\left|a_{k j}\right|\left|x_j\right|$

即有

$|\lambda| \leq \sum_{j=1}^n\left|a_{k j}\right| \frac{x_j \mid}{\left|x_k\right|} \leq \sum_{j=1}^n\left|a_{k j}\right|<1$